Fase local 2000
Primera sesión
1.- Considérese la sucesión
definida como a1 = 3, y
an+1 = an + an2. Determínense
las dos últimas cifras de a2000.
2.- Sea P
un punto del lado BC de un triángulo ABC.
La paralela por P a AB corta al lado AC
en el punto Q y la paralela por P a AC corta
al lado AB en el punto R. La razón entre
las áreas de los triángulos RBP y QPC
es k2.
Determínese la razón entre las áreas de los triángulos
ARQ y ABC.
3.- ¿Cuántos números, comprendidos entre 1.000 y 9.999, verifican que la suma de sus cuatro dígitos es mayor o igual que el producto de los mismos?. ¿Para cuántos de ellos se verifica la igualdad?
Segunda sesión
4.- Se consideran las
funciones reales de variable real f(x) de la forma: f(x)
= ax + b, siendo a y b números reales.
¿Para qué valores de a y b se
verifica f2000(x) = x para todo número real
x.
[Nota: Se define f2(x) = f(f(x)), f3(x)
= f(f(f(x))), y en general,
fn(x) = f(fn-1(x)) = f(f(...f(x))...))
n veces]
5.- En la orilla de un río de 100 metros de ancho está situada una planta eléctrica y en la orilla opuesta, y a 500 metros río arriba, se está construyendo una fábrica. Sabiendo que el río es rectilíneo entre la planta y la fábrica, que el tendido de cables a lo largo de la orilla cuesta a 9 € cada metro y que el tendido de cables sobre el agua cuesta a 15 € cada metro, ¿cuál es la longitud del tendido más económico posible entre la planta eléctrica y la fábrica?.
6.- Se sabe que el
polinomio p(x) = x3 – x + k tiene tres raíces
que son números enteros. Determínese el número
k.
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Actualizado 07 Abril 2000