OLIMPIADA MATEMÁTICA ESPAÑOLA
Fase local 2005
Viernes
21 de enero de 2005
Sesión de Mañana
1. Sean a, b, c números
reales no nulos y distintos.
Probar que si las ecuaciones x2 + ax
+ bc = 0y x2 + bx+ ca = 0 tienen
una raíz común, entonces las restantes raíces verifican la ecuación x2 + cx
+ ab = 0.
2. Sea M
un punto interior del segmento AB. Se construyen cuadrados AMCD y
BEHM en el mismo lado de AB. Si N es el segundo punto de
intersección de las circunferencias circunscritas a dichos cuadrados, probar
que:
1.
los
puntos B, N y C están alineados.
2.
el
punto H es el ortocentro del triángulo ABC.
3. Sean x,
y, z números reales positivos.
1.
Si 
, ¿se verifica necesariamente que 
?
2.
Si 
, ¿se verifica
necesariamente que 
?
Sesión de Tarde
4. Se
considera un triángulo ABC con ÐBAC = 45º y ÐACB = 30º.
Si M
es el punto medio del lado BC, se pide demostrar que ÐAMB = 45º y que BC · AC = 2 · AM
· AB.
5. Cuatro bolas negras y cinco
bolas blancas se colocan, en orden arbitrario, alrededor de una circunferencia.
Si dos bolas consecutivas son del mismo
color, se inserta una nueva bola negra entre ellas. En caso contrario, se
inserta una nueva bola blanca.
Se retiran las bolas negras y blancas previas
a la inserción.
Repitiendo el proceso, ¿es posible obtener
nueve bolas blancas?
6. Se pide
encontrar todos los números enteros positivos n tales que 3n
+ 5n es múltiplo de 3n-1 + 5n-1.
Sesión de Mañana
1. Sean x1,
x2 las raíces del polinomio P(x) = 3x2
+ 3mx + m2 - 1, siendo m un número real. Probar
que P(x13) = P(x23).
2. En el
interior de un cuadrado ABCD se construye el triángulo equilátero ABE.
Sea P el punto intersección de las rectas AC y BE. Sea F
el punto simétrico del P respecto de la recta DC. Se pide
demostrar que:
a)
el
triángulo CEF es equilátero.
b)
el
triángulo DEF es rectángulo e isósceles.
c) el triángulo BDF es
isósceles.
d) el triángulo PDF es
equilátero.
3. Encontrar todas las funciones 
tales que
x2·f(x) + f(1 - x) = 2x - x4.
Sábado 22 de enero de 2005
Sesión de tarde
4. Un grupo de chicos y chicas han comido en un restaurante en el que
sólo se sirven pizzas cortadas en 12 raciones. Cada chico comió 6 o 7 raciones
y cada chica 2 o 3 raciones.
Se sabe
que 4 pizzas no fueron suficientes y que con 5 pizzas hubo de sobra.
Calcular
el número de chicos y de chicas del grupo.
5. Demostrar que la ecuación
x2 + y2 - z2
- x - 3y - z - 4 = 0
6. En un
tablero de ajedrez 10 ×10 se colocan 41 torres. Probar que se pueden elegir al
menos 5 de ellas que no se coman entre sí.
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