Fase local 2007

OLIMPIADA MATEMÁTICA ESPAÑOLA

Fase local 2007

Viernes 19 de enero de 2007
Primera Sesión (mañana)

1. Un poliedro convexo tiene por caras 12 cuadrados, 8 hexágonos regulares y 6 octógonos regulares. En cada vértice del poliedro concurren exactamente un cuadrado, un hexágono y un octógono. ¿Cuantos segmentos que unen pares de vértices del poliedro son interiores al mismo, es decir, no son aristas ni están contenidos en una cara?

2. Se Resolver, en el conjunto de los números reales, el sistema de ecuaciones

3. Sea ABC un triangulo y D, E y F puntos situados en los segmentos AC, BA y CB respectivamente, de forma que los segmentos AF, BD, CE concurren en un punto P interior al triángulo. Sabemos que BP = 6, PD = 6, PC = 9, PE = 3 y AF = 20. Hallar el área del triángulo ABC.

Fase local 2007

Viernes 20 de enero de 2007
Segunda Sesión (tarde)

4. Demostrar que es imposible obtener un cubo yuxtaponiendo tetraedros regulares, todos del mismo tamaño.

5. Demostrar que, en un triángulo, la distancia de un vértice cualquiera al ortocentro es el doble de la distancia del circuncentro al lado opuesto a ese vértice.

6. Hallar todas las soluciones reales de la ecuación

Fase local 2007

Sábado 20 de enero de 2007
Primera Sesión (mañana)

1. Para cuatro puntos no coplanarios, un plano ecualizador es un plano tal que las distancias respectivas de cada uno de los puntos a ese plano son todas iguales. Dado un conjunto de cuatro puntos no coplanarios, ¿cuántos planos ecualizadores hay?

2. Encontrar todas las soluciones enteras posibles, x e y, de la ecuación:

siendo p un cierto número primo.

3. Sea la sucesión {2, 9, 28, 65, . . .} y Hallar el máximo valor que puede tomar .

Fase local 2007

Sábado 20 de enero de 2007
Segunda Sesión (tarde)

4. Sean a, b, c, d números enteros positivos que satisfacen ab = cd. Demostrar que a + b + c + d no es un número primo.

5. Dado un entero , definimos como el número entero que en base diez se escribe

(es decir, un 1 repetido k veces). Demostrar que divide a si y sólo si k divide a l.

6. Sea P un punto interior a un triángulo ABC. Por P se trazan paralelas KP, MP y NP a los lados AB, AC y BC que dividen el triángulo inicial en tres triángulos y tres paralelogramos. Sean S₁, S₂, S₃ las áreas de los nuevos triángulos y S el área del triángulo ABC. Probar que

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Actualizado 22 Enero 2007