OLIMPIADA MATEMÁTICA ESPAÑOLA
Fase local 2007
Viernes
19 de enero de 2007
Primera Sesión (mañana)
1.
Un poliedro convexo tiene por caras 12 cuadrados, 8 hexágonos regulares y 6
octógonos regulares. En cada vértice del poliedro concurren exactamente un cuadrado,
un hexágono y un octógono. ¿Cuantos segmentos que unen pares de vértices del
poliedro son interiores al mismo, es decir, no son aristas ni están contenidos
en una cara?
2.
Se Resolver, en el conjunto de los números reales, el sistema de ecuaciones
3. Sea
ABC un triangulo y D, E
y F puntos situados en los segmentos AC, BA
y CB respectivamente, de forma que
los segmentos AF, BD, CE
concurren en un punto P interior al
triángulo. Sabemos que BP = 6, PD = 6, PC = 9, PE = 3 y AF = 20. Hallar el área del triángulo ABC.
Fase local 2007
Viernes
20 de enero de 2007
Segunda Sesión (tarde)
4. Demostrar
que es imposible obtener un cubo yuxtaponiendo tetraedros regulares, todos del
mismo tamaño.
5. Demostrar que, en un triángulo, la distancia de un
vértice cualquiera al ortocentro es el doble de la distancia del circuncentro
al lado opuesto a ese vértice.
6. Hallar
todas las soluciones reales de la ecuación
Fase local 2007
Sábado
20 de enero de 2007
Primera Sesión (mañana)
1. Para
cuatro puntos no coplanarios, un plano ecualizador es un plano tal que las
distancias respectivas de cada uno de los puntos a ese plano son todas iguales.
Dado un conjunto de cuatro puntos no coplanarios, ¿cuántos planos ecualizadores
hay?
2. Encontrar
todas las soluciones enteras posibles, x
e y, de la ecuación:
siendo p un cierto número primo.
.
3.
Sea
la sucesión {2, 9, 28,
65, . . .} y
Hallar el máximo valor
que puede tomar
.
Fase local 2007
Sábado
20 de enero de 2007
Segunda Sesión (tarde)
4. Sean
a, b, c, d números enteros positivos
que satisfacen ab = cd. Demostrar que a + b + c + d
no es un número primo.
5. Dado
un entero
, definimos
como el número entero
que en base diez se escribe
(es decir, un 1 repetido k
veces). Demostrar que divide a
si y sólo si k divide a l.
6. Sea
P un punto interior a un triángulo ABC. Por P se trazan paralelas KP,
MP y NP a los lados AB, AC y BC
que dividen el triángulo inicial en tres triángulos y tres paralelogramos. Sean
S1, S2, S3
las áreas de los nuevos triángulos y S
el área del triángulo ABC. Probar que
Soluciones en formato Microsoft Word 2000 comprimido .zip (95 Kb)
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Actualizado 22 Enero 2007