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OLIMPIADA MATEMÁTICA ESPAÑOLA

XXXVI Olimpiada Matemática Española
Fase nacional 2000 (Palma de Mallorca)
Primera sesión

1.- Sean los polinomios:

P(x) = x⁴ + ax³ + bx² + cx + 1;
Q(x) = x⁴ + cx³ + bx² + ax + 1.

Halla las condiciones que deben cumplir los parámetros reales a, b y c (a distinto de c) para que P(x) y Q(x) tengan dos raíces comunes y resuelve en ese caso las ecuaciones P(x) = 0; Q(x) = 0.

2.- La figura muestra un plano con calles que delimitan 12 manzanas cuadradas.

Una persona P va desde A hasta B y otra Q desde B hasta A. Ambas parten a la vez siguiendo caminos de longitud mínima con la misma velocidad constante. En cada punto con dos posibles direcciones a tomar, ambas tienen la misma probabilidad. Halla la probabilidad de que se crucen.

3.- Dos circunferencias secantes C₁ y C₂ de radios r₁ y r₂ se cortan en los puntos A y B.
Por B se traza una recta variable que corta de nuevo a C₁ y C₂ en dos puntos que llamaremos P_r y Q_r respectivamente.
Demuestra la siguiente propiedad: Existe un punto M, que depende sólo de C₁ y C₂, tal que la mediatriz del segmento P_rQ_r pasa por M.

Segunda sesión

4.- Encuentra el mayor número entero N que cumpla las siguientes condiciones :
a) tiene sus tres cifras iguales.
b) es suma de números naturales consecutivos comenzando en 1, es decir, existe un natural n tal que:

Nota:

es la parte entera de x.

5.- Tomemos cuatro puntos situados en el interior o el borde de un cuadrado de lado 1. Demuestra que al menos dos de ellos están a distancia menor o igual que 1.

6.- Demuestra que no existe ninguna función que cumpla: f(f(n)) = n + 1.

No está permitido el uso de calculadoras.
Cada problema se puntúa sobre 7 puntos.
El tiempo de cada sesión es de 4 horas.

Soluciones en formato Microsoft Word 97 (Comprimido .zip, 43 Kb)

Ganadores de la Olimpiada

Medallas de oro
Carlos Gómez Rodríguez
Luis Emilio García Martínez
Alberto Suárez Real
José María Cantarero López
Manuel Pérez Molina
Roberto Rubio Núñez

Medallas de plata
Fernando Cruz Robledillo
Xavier Martínez Palau
Carlos González Guillén
Carlos Marcelino Casas Cuadrado
Carlos García Fernández
Juanjo Rué Perna
José Doval González
Santiago Molina Blanco
Francisco Javier Ortiz Barranco
Jordi Rius Pascual
Alfredo Lafuente Laguna
Enoc Altabás Felipo

Medallas de bronce
Jesús Pascual Moreno Damas
Carlos Vinuesa del Rio
Ignacio García Marco
Juan Alemany Flos
Sergio Leal Alcubilla
Guillermo Heras Prieto
Alberto Llorente Mediavilla
Germán Sanchís Trilles
Miquel Oliu Barton
Rubén Bautista Tapias
Alfonso Cabrera Salinas
José Manuel Hernández García
Stephane Lesaffre
Roberto Alonso Pérez
Indalecio Carbonell Pascual
Gaspar Fernández Domínguez
Eduardo Eisman Cabeza
Dacio Sánchez Iglesias

Breve estudio de los resultados

Los problemas se calificaron sobre 7 puntos, Las medias y desviaciones de cada problema fueron:

	P1	P2	P3	P4	P5	P6
Medias	2,57	3,14	1,66	3,95	1,34	1,37
Desviaciones	2,576	2,846	1,535	2,466	1,325	1,889

El gráfico siguiente muestra las frecuencias de notas para cada problema.