XL Olimpiada
Matemática Española
Fase nacional 2004 (Ciudad Real)
Primera sesión (26 de marzo)
1.- Tenemos un conjunto de 221 números reales cuya suma es 110721. Los disponemos formando una tabla rectangular de modo que todas las filas y la primera y última columnas son progresiones aritméticas de más de un elemento. Probar que la suma de los elementos de las cuatro esquinas vale 2004
2.- ABCD es un cuadrilátero cualquiera, P y Q los puntos medios de las diagonales BD y AC respectivamente. Las paralelas por P y Q a la otra diagonal se cortan en O. Si unimos O con las cuatro puntos medios de los lados X, Y, Z y T se forman cuatro cuadriláteros, OXBY, OYCZ, OZDT y OTAX.
Probar que los cuatro cuadriláteros tienen la misma área.
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·
3.- Se representa por Z el conjunto de todos los enteros. Hallar todas las funciones f: Z → Z tales que para cualesquiera x, y enteros se verifica:
f(x + f(y)) = f(x) – y
Segunda sesión (27 de marzo)
4.- ¿Existe alguna potencia de 2 que al escribirla en el sistema decimal tenga todos sus dígitos distintos de cero y sea posible reordenar los mismos para formar con ellos otra potencia de 2?. Justificar la respuesta.
5.- Demostrar que la condición necesaria y suficiente para que, en el triángulo ABC, la mediana desde B sea dividida en tras partes iguales por la circunferencia inscrita en el triángulo, es
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6.- Colocamos, formando una circunferencia, 2004 fichas bicolores: blancas por una cara y negras por la otra. Un movimiento consiste en elegir una ficha con la cara negra hacia arriba, y dar la vuelta a tres fichas: la elegida, la de su derecha y la de su izquierda. Supongamos que inicialmente hay una sola ficha con la cara negra hacia arriba. ¿Será posible, repitiendo el movimiento descrito, conseguir que todas las fichas tengan la cara blanca hacia arriba? ¿Y si tuviéramos 2003 fichas, entre las cuales exactamente una tiene al comienzo la cara negra hacia arriba?
No está permitido el uso de
calculadoras.
Cada
problema se puntúa sobre 7 puntos.
El
tiempo de cada sesión es de 3,5 horas.
Soluciones en formato Microsoft Word 2000 (Comprimido .zip,
64 Kb)
Ganadores de la Olimpiada
Medallas de oro
Joaquim Serra Montoli
Maite Peña Alcaraz
Elisa Lorenzo García
Miguel Teixidó Román
Francisco Javier Hernández Heras
María Isabel Cordero Marcos
Medallas de plata
Mohamed Blanca Ruiz
Emilio Alba Linero
Ricardo Martín Brualla
Guillermo Vilaplana Muller
Javier de
Roberto Sanchís Ojeda
Alejandro Pozo Pazos
Lander Ramos Garrido
Carlos Abad Reigadas
Roberto Jiménez Sánchez
Lucas Rey Ramos
María Ibáñez Alonso
Medallas de bronce
Ignacio Medina Castillo
Fredrik Kang Kim
Irene Pérez Encinar
Diego Gimeno Sanz
Víctor Díez Corral
Ainhoa Manterola Solans
Iñigo Irareta Erro
Enrique Jiménez Meroño
Víctor Martínez Martínez
Marta Navarro Hernández
Víctor Sánchez Beldar
Manuel Cruz Ramírez
José
Antonio Díaz López
Miguel
Ángel de la Fuente Martín
Ana
González González
José
Luis Salinas Illarena
David
González González
Daniel
Marín Cabellos
Breve estudio de los resultados
Los problemas se calificaron sobre 7 puntos, Las medias y desviaciones
de cada problema fueron:
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P1 |
P2 |
P3 |
P4 |
P5 |
P6 |
Medias |
2,38 |
0,86 |
0,24 |
1,43 |
0,16 |
0,54 |
Desviaciones |
2,277 |
1,790 |
0,876 |
1,982 |
0,500 |
0,875 |
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© C. Sánchez-Rubio
Actualizado
30 marzo 2004