XL Olimpiada Matemática Española
Fase nacional 2004 (Ciudad Real)
Primera sesión (26 de marzo)





 

1.- Tenemos un conjunto de 221 números reales cuya suma es 110721. Los disponemos formando una tabla rectangular de modo que todas las filas y la primera y última columnas son progresiones aritméticas de más de un elemento. Probar que la suma de los elementos de las cuatro esquinas vale 2004

 


2.- ABCD es un cuadrilátero cualquiera, P y Q los puntos medios de las diagonales BD y AC respectivamente. Las paralelas por P y Q a la otra diagonal se cortan en O.  Si unimos O con las cuatro puntos medios de los lados X, Y, Z y T se forman cuatro cuadriláteros, OXBY, OYCZ, OZDT y OTAX.

Probar que los cuatro cuadriláteros tienen la misma área.

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3.- Se representa por  Z el conjunto de todos los enteros. Hallar todas las funciones  f: ZZ tales que para cualesquiera x, y  enteros se verifica:

f(x +  f(y)) = f(x) – y

 

 

Segunda sesión (27 de marzo)

 

4.- ¿Existe alguna potencia de 2 que al escribirla en el sistema decimal tenga todos sus dígitos distintos de cero y sea posible reordenar los mismos para formar con ellos otra potencia de 2?.  Justificar la respuesta.

 



 

5.- Demostrar que la condición necesaria y suficiente para que, en el triángulo ABC, la mediana desde B sea dividida en tras partes iguales por la circunferencia inscrita en el triángulo, es


 

 

 



6.- Colocamos, formando una circunferencia, 2004 fichas bicolores: blancas por una cara y negras por la otra. Un movimiento consiste en elegir una ficha con la cara negra hacia arriba, y dar la vuelta a tres fichas: la elegida, la de su derecha y la de su izquierda. Supongamos que inicialmente hay una sola ficha con la cara negra hacia arriba. ¿Será posible, repitiendo el movimiento descrito, conseguir que todas las fichas tengan la cara blanca hacia arriba? ¿Y si tuviéramos 2003 fichas, entre las cuales exactamente una tiene al comienzo la cara negra hacia arriba?


 

No está permitido el uso de calculadoras.
Cada problema se puntúa sobre 7 puntos.
El tiempo de cada  sesión es de 3,5 horas.

 


Soluciones en formato Microsoft Word 2000 (Comprimido .zip, 64 Kb)
 
 

Ganadores de la Olimpiada

Medallas de oro

Joaquim Serra Montoli

Maite Peña Alcaraz

Elisa Lorenzo García

Miguel Teixidó Román

Francisco Javier Hernández Heras

María Isabel Cordero Marcos


Medallas de plata

Mohamed Blanca Ruiz

Emilio Alba Linero

Ricardo Martín Brualla

Guillermo Vilaplana Muller

Javier de la Nuez González

Roberto Sanchís Ojeda

Alejandro Pozo Pazos

Lander Ramos Garrido

Carlos Abad Reigadas

Roberto Jiménez Sánchez

Lucas Rey Ramos

María Ibáñez Alonso

 


Medallas de bronce

Ignacio Medina Castillo

Fredrik Kang Kim

Irene Pérez Encinar

Diego Gimeno Sanz

Víctor Díez Corral

Ainhoa Manterola Solans

Iñigo Irareta Erro

Enrique Jiménez Meroño

Víctor Martínez Martínez

Marta Navarro Hernández

Víctor Sánchez Beldar

Manuel Cruz Ramírez

José Antonio Díaz López

Miguel Ángel de la Fuente Martín

Ana González González

José Luis Salinas Illarena

David González González

Daniel Marín Cabellos

 


Breve estudio de los resultados

Los problemas se calificaron sobre 7 puntos, Las medias y desviaciones de cada problema fueron:

 

P1

P2

P3

P4

P5

P6

Medias

2,38

0,86

0,24

1,43

0,16

0,54

Desviaciones

2,277

1,790

0,876

1,982

0,500

0,875


 

 

 



 
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Actualizado 30 marzo 2004