XLI Olimpiada Matemática Española
Fase nacional 2005 (Santiago de Compostela)

Primera sesión (21 de marzo)


 


 

1.- Sean a y b enteros. Demostrar que la ecuación

admite a lo sumo una solución entera.

 


2.- ¿Es posible colorear los puntos del plano cartesiano Oxy de coordenadas enteras con tres colores, de tal modo que cada color aparezca infinitas veces en infinitas rectas paralelas al eje  Ox y  tres puntos cualesquiera, cada uno de distinto color, no estén alineados? Justificar la contestación.

 

 



 

3.- Diremos que un triángulo es multiplicativo si el producto de las longitudes de dos de sus lados es igual a la longitud del tercer lado.

Sea ABC...XYZ un polígono regular de n lados con todos sus lados de longitud 1. Las n – 3  diagonales que salen del vértice A dividen al triángulo ZAB en n – 2  triángulos más pequeños. Probar que cada uno de esos triángulos es multiplicativo.

 

 

 

 

 

Segunda sesión (22 de marzo)

 

4.- Probar que para todo entero positivo n, la expresión decimal de

 

es periódica mixta.

 

 



 

5.- Sean  números reales cualesquiera.  Probar que:

    mín



6.- En un triángulo de lados a, b, c el lado a es la media aritmética de b y c. Probar:

a) 0º ≤ A ≤ 60º.

b) La altura relativa al lado a es tres veces el inradio r.

c) La distancia del circuncentro al lado a es Rr , siendo R el circunradio.


 

No está permitido el uso de calculadoras.
Cada problema se puntúa sobre 7 puntos.
El tiempo de cada  sesión es de 3,5 horas.

 


Soluciones en formato Microsoft Word 2000 (Comprimido .zip, 88 Kb)
 
 

Ganadores de la Olimpiada

Medallas de oro

Miguel Teixidó Román

Elisa Lorenzo García

Javier de la Nuez González

Anas El Barkani

Pau Labarta Bajo

Hugo Fernández Hervás


Medallas de plata

Marc Viñals Pérez

Alberto Camacho Martínez

Nuria Gómez González

Abel Molina Prieto

María Calvo Cervera

Gabriel Poussif

Víctor Martínez Martínez

Ignacio Somoza Sotillos

Ricardo Martín Brualla

Zhuoli Chen

Lander Ramos Garrido

Marc Sabaté Vidales


Medallas de bronce

Diego Gimeno Sanz

José Carpio Pinedo

Ding Ru Cai

Guillermo Vicente García

Kristina Krasimirova Vladimirova

Alberto Soria Barroso

Laurent Dietrich Langkemper

Alberto Alejandro Merino Madrid

Javier Fresán Leal

Álvaro Morante Amat

Mikael Rodríguez Chala

Miguel Ángel Asensio Álvarez

Andrés Parrilla Gómez

Alba Hiniesta Lozano de las Heras

Jorge Ruiz Navarro

Antonio José Berenguer Verdú

Jaime Bonnín Roca

Adrián Coso Rodríguez

 


Breve estudio de los resultados

Los problemas se calificaron sobre 7 puntos, Las medias y desviaciones de cada problema fueron:

 

P1

P2

P3

P4

P5

P6

Medias

3,03

0,64

1,25

0,80

0,99

0,69

Desviaciones

3,14

1,42

1,94

1,72

2,04

1,29



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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Actualizado 26 marzo 2005