XLI Olimpiada Matemática Española
Fase nacional 2005 (Santiago de Compostela)
Primera sesión (21 de marzo)
1.- Sean a y b
enteros. Demostrar que la ecuación
admite a lo sumo una solución entera.
2.- ¿Es posible colorear los puntos del plano cartesiano Oxy de coordenadas enteras con tres colores, de tal modo que cada color aparezca infinitas veces en infinitas rectas paralelas al eje Ox y tres puntos cualesquiera, cada uno de distinto color, no estén alineados? Justificar la contestación.
3.- Diremos que un triángulo es multiplicativo si el producto de las longitudes de dos de sus lados es igual a la longitud del tercer lado.
Sea ABC...XYZ un polígono regular de n lados con todos sus lados de longitud 1. Las n – 3 diagonales que salen del vértice A dividen al triángulo ZAB en n – 2 triángulos más pequeños. Probar que cada uno de esos triángulos es multiplicativo.
Segunda sesión (22 de marzo)
4.- Probar que
para todo entero positivo n, la
expresión decimal de
es periódica mixta.
5.- Sean números reales cualesquiera. Probar que:
mín
6.- En un triángulo de lados a, b, c el lado a es la media aritmética de b y c. Probar:
a) 0º ≤ A ≤ 60º.
b) La altura relativa al lado a es tres veces el inradio r.
c) La distancia del circuncentro al lado a es R – r , siendo R el circunradio.
No está permitido el uso de
calculadoras.
Cada
problema se puntúa sobre 7 puntos.
El
tiempo de cada sesión es de 3,5 horas.
Soluciones en formato Microsoft Word 2000 (Comprimido .zip,
88 Kb)
Ganadores de la Olimpiada
Medallas de oro
Miguel Teixidó Román
Elisa Lorenzo García
Javier de la Nuez González
Anas El Barkani
Pau Labarta Bajo
Hugo Fernández Hervás
Medallas de plata
Marc Viñals Pérez
Alberto Camacho
Martínez
Nuria Gómez González
Abel Molina Prieto
María Calvo Cervera
Gabriel Poussif
Víctor Martínez
Martínez
Ignacio Somoza
Sotillos
Ricardo Martín
Brualla
Zhuoli Chen
Lander Ramos Garrido
Marc Sabaté Vidales
Medallas de bronce
Diego Gimeno Sanz
José Carpio Pinedo
Ding Ru Cai
Guillermo Vicente García
Kristina Krasimirova Vladimirova
Alberto Soria Barroso
Laurent Dietrich Langkemper
Alberto Alejandro Merino Madrid
Javier Fresán Leal
Álvaro Morante Amat
Mikael Rodríguez Chala
Miguel Ángel Asensio Álvarez
Andrés Parrilla Gómez
Alba Hiniesta Lozano de las
Heras
Jorge Ruiz Navarro
Antonio José Berenguer Verdú
Jaime Bonnín Roca
Adrián Coso Rodríguez
Breve estudio de los resultados
Los problemas se calificaron sobre 7 puntos, Las medias y desviaciones
de cada problema fueron:
|
P1 |
P2 |
P3 |
P4 |
P5 |
P6 |
Medias |
3,03 |
0,64 |
1,25 |
0,80 |
0,99 |
0,69 |
Desviaciones |
3,14 |
1,42 |
1,94 |
1,72 |
2,04 |
1,29 |
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© C. Sánchez-Rubio
Actualizado
26 marzo 2005