Primera sesión

XLII Olimpiada Matemática Española
Fase nacional 2006 (Sevilla)

Primera sesión (24 de marzo)

1.- Sea un polinomio con coeficientes enteros. Demostrar que si existe un entero k tal que ninguno de los enteros es divisible por k, entonces no tiene raíces enteras.

2.- Las dimensiones de un ortoedro de madera son enteras. Pintamos toda su superficie (las seis caras), lo cortamos mediante planos paralelos a las caras en cubos de una unidad de arista y observamos que exactamente la mitad de los cubos no tienen ninguna cara pintada. Probar que el número de ortoedros con tal propiedad es finito.

(Puede resultar útil tener en cuenta que ).

3.- ABC es un triángulo isósceles con AB = AC. Sea P un punto cualquiera de la circunferencia tangente a los lados AB en B y a AC en C.

Llamamos a, b y c a las distancias desde P a los lados BC, AC y AB respectivamente. Probar que:

Segunda sesión (25 de marzo)

4.- Hallar todas las funciones que satisfacen la ecuación

para todo par de números reales e positivos, siendo un número real positivo tal que

5.- Probar que el producto de cuatro naturales consecutivos no puede ser ni cuadrado ni cubo perfecto

6.- Las diagonales y de un cuadrilátero convexo se cortan en Denotamos por y a las áreas de los triángulos y del cuadrilátero respectivamente. Prueba que ¿Cuándo se alcanza la igualdad?