OLIMPIADA MATEMÁTICA ESPAÑOLA

Fase Nacional 1993 (Madrid)

Primera sesión

1.- En una reunión hay 201 personas de 5 nacionalidades diferentes. Se sabe que, en cada grupo de 6, al menos dos tienen la misma edad. Demostrar que hay al menos 5 personas del mismo país, de la misma edad y del mismo sexo.


2.- Escrito el triángulo aritmético:

0
 
1
 
2
 
3
 
4
........
1991
 
1992
 
1993
 
1
 
3
 
5
 
7
......
........
........
3983
 
3985
 
   
4
 
8
 
12
......
......
........
........
........
7968
   

...........................................................................................

donde cada número es la suma de los dos que tiene encima (cada fila tiene un número menos y en la última sólo hay un número). Razonar que el último número es múltiplo de 1993.


3.- Justificar razonadamente que, en cualquier triángulo, el diámetro de la circunferencia inscrita no es mayor que el radio de la circunferencia circunscrita.

Segunda sesión

4.- Demostrar que para todo número primo p distinto de 2 y de 5, existen infinitos múltiplos de p de la forma 1111......1 (escrito sólo con unos).


5.- Se dan 16 puntos formando una cuadrícula como en la figura:
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De ellos se han destacado A y D. Se pide fijar de todos los modos posibles otros dos puntos B y C con la condición de que las seis distancias determinadas por los cuatro puntos sean distintas. En ese conjunto de cuaternas, estudiar:
a) Cuántas figuras de 4 puntos existen con las condiciones del enunciado.
b) Cuántas de ellas son geométricamente distintas, es decir, no deducibles unas de otras por transformaciones de igualdad.
c) Si cada punto se designa por un par de enteros (Xi, Yi), razonar que la suma:

|Xi - Xj| + | Yi - Yj|

extendida a los seis pares AB, AC, AD, BC, BD, CD es constante.



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6.- Una máquina de juego de un casino tiene una pantalla en la que se ofrece un esquema como el de la figura. Para comenzar el juego aparece una bola en el punto S. A cada impulso que recibe del jugador, esa bola se mueve hasta una de las letras inmediatas con la misma probabilidad para cada una de ellas. La partida termina al ocurrir el primero de los dos hechos siguientes:

a) La bola vuelve a S y entonces el jugador pierde.

b) La bola llega a G y entonces el jugador gana.

Se pide la probabilidad de que el jugador gane y la duración media de las partidas.


Soluciones en formato Microsoft Word 6 (Comprimido .zip, 18 Kb)

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Actualizado 15 Junio 1997