OLIMPIADA MATEMÁTICA ESPAÑOLA 
Fase nacional 1996 (Tarragona)
Primera sesión

1.- Los números naturales a y b son tales que:

es entero. Demostrar que el máximo común divisor de a y b no es mayor que 

2.- Sea G el baricentro del triángulo ABC. Si se verifica

demostrar que el triángulo es isósceles.

3.- Sean a, b ,c números reales. Se consideran las funciones

.

Sabiendo que

demostrar que si   -1 < = x < = 1, entonces:

Segunda sesión

4.- Discutir la existencia de soluciones de la ecuación

según los valores del parámetro real p, y resolverla siempre que sea posible.

5.- En Port Aventura hay 16 agentes secretos. Cada uno de ellos vigila a algunos de sus colegas. Se sabe que si el agente A vigila al agente B, entonces B no vigila a A. Además, 10 agentes cualesquiera pueden ser numerados de forma que el primero vigila al segundo, éste vigila al tercero,....., el último (décimo) vigila al primero.

Demostrar que también se pueden numerar de este modo 11 agentes cualesquiera.

6.- La figura de la izquierda se compone de seis pentágonos regulares de lado 1m. Se dobla por las líneas de puntos hasta que coincidan las aristas no punteadas que confluyen en cada vértice.

¿Qué volumen de agua cabe en el recipiente formado?.